Question

如图，已知正三角形ABC的边长为6，在△ABC中作内切圆O及三个角切圆（我们把与角两边及三角形内切圆都相切的圆叫角切圆），则△ABC的内切圆O的面积为

 

；图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

分析：连接OB，以及⊙O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得⊙O的半径为

3

；然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边△BEF的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和即为阴影部分的面积．

解答：解：如图，连接OB、OD；设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的交点为G；
过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F；
则∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等边三角形；
在Rt△OBD中，BD=3，∠OBD=30°，则OD=

3

，OB=2

3

，BG=

3

；
由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，
故PG=

1

3

BG=

3

3

；
∴S_⊙O=π×（

3

）²=3π，S_⊙P=π×（

3

3

）²=

1

3

π；
∴S_阴影=S_△ABC-S_⊙O-3S_⊙P=9

3

-3π-π=9

3

-4π；
故△ABC的内切圆O的面积为3π，图中阴影部分的面积为9

3

-4π．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中．