Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣2经过点A（4，0），B（1，0）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）点D是直线AC上方的抛物线上的一点，求△DCA面积的最大值；

（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；（2）当t=2时，△DAC面积最大为4；（3）符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．

【解析】

（1）把A与B坐标代入解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；（2）如图所示，过D作DE与y轴平行，三角形ACD面积等于DE与OA乘积的一半，表示出S与t的二次函数解析式，利用二次函数性质求出S的最大值即可；（3）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，分当1＜m＜4时；当m＜1时；当m＞4时三种情况求出点P坐标即可．

（1）∵该抛物线过点A（4，0），B（1，0），

∴将A与B代入解析式得：，解得：，

则此抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；

（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，

过D作y轴的平行线交AC于E，

由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，

∴E点的坐标为（t，t﹣2），

∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，

∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

则当t=2时，△DAC面积最大为4；

（3）存在，如图，

设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为﹣m2+m﹣2，

当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①当==2时，△APM∽△ACO，即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），

解得：m=2或m=4（舍去），

此时P（2，1）；

②当==时，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，

解得：m=4或m=5（均不合题意，舍去）

∴当1＜m＜4时，P（2，1）；

类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2）；

当m＜1时，P（﹣3，﹣14），

综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．