Question

已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若cos∠MAN=

1

2

，AE=

3

，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）DE与⊙O相切．（1分）
理由如下：
连接OE，
∵AE平分∠MAN，
∴∠1=∠2．
∵OA=OE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OE∥AD．
∴∠OEF=∠ADF=90°．（2分）
∴OE⊥DE，垂足为E．
∵点E在半圆O上，
∴ED与⊙O相切．（3分）

（2）∵cos∠MAN=

1

2

，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=

1

2

MAN=

1

2

×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD．
∴EF=AE=

3

．（4分）
在Rt△OEF中，tan∠OFE=

OE

EF

，
∴tan30°=

OE

3

．
∴OE=1．（5分）
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S_阴=S_△OEF-S_扇形OEB=

1

2

×1×

3

-

60•π•12

360

=

3

2

-

1

6

π．（6分）