Question

如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠B=75°，∠ADC=135°，AB=AD=

2

，E为BC中点，则AE+DE长为

 

．

Answer 1

分析：作辅助线，连接BD与AE交于点F，在Rt△ABD中，根据已知条件可将AF求出，由题意知：△BCD为直角三角形，在此三角形中，可将DE和EF的长求出，进而可将AE+DE长求出．

解答：解：连接BD交AE于点F，
∵AB=AD=

2

，∠BAD=90°
∴BD=2，∠ADB=∠ABD=45°，AF=cot45°×AB=1
∵ADC=135°，∠ABC=75°
∴∠BDC=90°，∠CBD=30°
∵E为BC中点∴DE=

1

2

BC
在Rt△BCD中，BC=

BD

cos∠CBD

=

2

3 2

=

4 3

3

，CD=DE=

2 3

3

∵AE⊥BD，CD⊥BD∴EF∥CD
∴

EF

CD

=

BE

BC

∴EF=

1

2

CD=

3

3

∴AE+DE=AF+EF+DE=1+

3

3

+

2 3

3

=1+

3

．

点评：本题主要考查直角三角形的性质及求解方法．