如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从A出发沿线路AB-BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC-CB作匀速运动逐步靠近点P．设两点P、Q的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点E相遇． 分析 （1）根据已知条件和三角函数就可以得出AC与BC的长度；
（2）在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么，BE=t-12，CE=at-12，这两个式子相等的t的值不存在；
（3）以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，由于∠C=∠C，分∠DEC=∠B=90°或∠E'DC=∠B=90°两种情况讨论计算即可得出结论．
解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，
∴AC=2AB=24（厘米）．
∴BC=$\sqrt{3}$AB=12$\sqrt{3}$（厘米）．
（2）E点不会是BC的中点．
在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么
BE=t-12，CE=at-12，
∵a＞1，
∴at-12＞t-12．
∴E点不会是BC的中点．
（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，
∵∠C=∠C，
∴∠DEC=∠B=90°或∠E'DC=∠B=90°，
①当∠DEC=∠B=90°时，△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{AC}$
∴$\frac{CE}{12\sqrt{3}}=\frac{12}{24}$
∴CE=6$\sqrt{3}$，
∴BE=BC-CE=6$\sqrt{3}$，
∴BE=t-AB=t-12=6$\sqrt{3}$
∴t=12+6$\sqrt{3}$，
∵CE=at-CD=at-12=6$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{12+6\sqrt{3}}{t}$=$\frac{12+6\sqrt{3}}{12+6\sqrt{3}}$=1，
∵a＞1，
∴此种情况不符合题意，
②当∠E'DC=∠B=90°时，
∴则△DCE'∽△BCA，
∴$\frac{CE'}{AC}=\frac{CD}{BC}$
∴$\frac{CE'}{24}=\frac{12}{12\sqrt{3}}$，
∴CE'=24×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵BC=12$\sqrt{3}$，
∴BE'=BC-CE'=12$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
由运动知，CE'=at-12，BE'=t-12，
∴at-12=8$\sqrt{3}$，t-12=4$\sqrt{3}$，
∴t=12+4$\sqrt{3}$≈18.9，a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$≈1.4
∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．
点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用分类讨论的思想思考问题．
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如图，已知O是?ABCD的对角线的交点，过点O作直线分别与AD和BC相交于点E、F，求证：OE=OF．