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【题目】如图,抛物线(a≠0)经过A(-10),B(20)两点,与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)点P在抛物线的对称轴上,△ACP的周长最小时,求出点P的坐标;

(3) 点N在抛物线上点M在抛物线的对称轴上,是否存在以点N为直角顶点的RtDNMRt△BOC相似,若存在,请求出所有符合条件的点N的坐标若不存在,请说明理由.

【答案】(1),D;(2)P(;(3)存在.N()或()或()或(

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式;

(2)确定出当ACP的周长最小时,点P就是BC和对称轴的交点,利用两点间的距离公式计算即可

(3)作出辅助线,利用tanMDN=2或,建立关于点N的横坐标的方程,求出即可.

试题解析:1)由于抛物线 (a≠0)经过A(-10),B(20)两点因此把AB两点的坐标代入 (a≠0)可得;解方程组可得:,故抛物线的解析式为:=所以D的坐标为().

2)如图1,设P(,k),C(0,-1),A(-10),B(20)A、B两点关于对称轴对称,连接CB交对称轴于点P,则ACP的周长最小.设直线BC为y=kx+b,则:,解得:直线BC为:.当x=时,=P();

(3)存在.如图2,过点作NFDM,B(2,0),C(0,﹣1),OB=2,OC=1,tanOBC=,tanOCB==2,设点N(m,),FN=|m﹣|,FD=||=||RtDNM与RtBOC相似,∴∠MDN=OBC,或MDN=OCB

①当MDN=OBC时,tanMDN==m=(舍)或m=或m=N()或(

②当MDN=OCB时,tanMDN==2,m=(舍)或m=或m=N()或();

符合条件的点N的坐标()或()或()或().

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