【题目】如图,抛物线(a≠0)经过A(-1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点P在抛物线的对称轴上,当△ACP的周长最小时,求出点P的坐标;
(3) 点N在抛物线上,点M在抛物线的对称轴上,是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似,若存在,请求出所有符合条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),D(,);(2)P(,);(3)存在.N(,)或(,)或(,)或(,).
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)确定出当△ACP的周长最小时,点P就是BC和对称轴的交点,利用两点间的距离公式计算即可;
(3)作出辅助线,利用tan∠MDN=2或,建立关于点N的横坐标的方程,求出即可.
试题解析:(1)由于抛物线 (a≠0)经过A(-1,0),B(2,0)两点,因此把A、B两点的坐标代入 (a≠0),可得:;解方程组可得:,故抛物线的解析式为:,∵=,所以D的坐标为(,).
(2)如图1,设P(,k),∵,∴C(0,-1),∵A(-1,0),B(2,0),∴A、B两点关于对称轴对称,连接CB交对称轴于点P,则△ACP的周长最小.设直线BC为y=kx+b,则:,解得:,∴直线BC为:.当x=时,=,∴P(,);
(3)存在.如图2,过点作NF⊥DM,∵B(2,0),C(0,﹣1),∴OB=2,OC=1,∴tan∠OBC=,tan∠OCB==2,设点N(m,),∴FN=|m﹣|,FD=||=||,∵Rt△DNM与Rt△BOC相似,∴∠MDN=∠OBC,或∠MDN=∠OCB;
①当∠MDN=∠OBC时,∴tan∠MDN==,∴,∴m=(舍)或m=或m=,∴N(,)或(,);
②当∠MDN=∠OCB时,∴tan∠MDN==2,∴,∴m=(舍)或m=或m=,∴N(,)或(,);
∴符合条件的点N的坐标(,)或(,)或(,)或(,).
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【题目】某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元,销售10个篮球和20个排球的总利润为650元.
(1)求每个篮球和每个排球的销售利润;
(2)已知每个篮球的进价为200元,每个排球的进价为160元,若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个,且要求篮球数量不少于排球数量的一半,请你为专卖店设计符合要求的进货方案.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2),把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处,并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上.则细线的另一端所在位置的点的坐标是 .
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【题目】在四川汶川地震灾后重建中,某公司拟为灾区援建一所希望学校.公司经过调查了解:甲、乙两个工程队有能力承包建校工程,甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍,甲、乙两队合作完成建校工程需要72天.
(1)甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天?
(2)在施工过程中,该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督,每天需要补助100元.若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元.现公司选择了乙工程队,要求其施工总费用不能超过甲工程队,则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少?
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【题目】胜利中学会议室内的会议桌是一个长方形,长1.6米,宽1米,学校准备制作一块桌布,面积是桌面的2倍,且使桌面四周垂下的边等宽。若设四周垂下的边为x米,则应列得的方程为_____.
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【题目】在△ABC中,∠A=30°,D是AC边上的点;先将△ABC沿着BD翻折,翻折后△ABD的边AB交AC于点E;又将△BCE沿着BE翻折,C点恰好落在BD上,此时∠BEC=78°,则原三角形的∠ABC=度.
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【题目】如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为( )
A.7.5
B.5
C.4
D.不能确定
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