Question

17．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别是AC、AB上的点，连接AE、DE、BD，AE和BD交于点F，且∠BAD=∠AFD，∠ADB=∠EDC．
（1）找出图中与∠CED相等的角；
（2）求$\frac{BD}{DE}$的值；
（3）如图2，若将等腰直角三角形ABC改为等边三角形ABC，其它条件不变，求$\frac{BD}{DE}$．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠ABD=∠CAG，进而得出△ABD≌△CAG，得出AD=CG，∠ADB=∠G，再判断出△CDE≌△CGE即可得出结论；
（2）先判断出△ABE∽△DCE，得出$\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{CD}$=$\frac{2CD}{CD}$=2即可得出结论；
（3）先判断出△ABD≌△CAE（ASA），进而得出AD=CE，再判断出△CDE∽△CEA，得出AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC，最后用△ABD∽△CED即可得出结论．

解答 证明：（1）如图1，

过点C作AC垂线交AE延长线于G，
则∠ACG=90°，
∵∠BAC=∠AFD=90°，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠BAF+∠CAG=90°，
∴∠ABD=∠CAG，
在△ABD和△CAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAG}\\{AB=CA}\\{∠BAD=∠ACG=90°}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAG（ASA），
∴AD=CG，∠ADB=∠G，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠CDE=∠G，
∵∠ACG=∠BAC=90°，
∴AB∥CG，
∴∠GCE=∠ABC=∠DCE=45°，
在△CDE和△CGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠G}\\{∠DCE=∠GCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△CGE（AAS），
∴∠CED=∠CEG，CD=CG，
∵∠AEB=∠CEG，
∴∠AEB=∠CED，


（2）由（1）知，AD=CG=CD

∴AC=2CD=2AD，
∴AB=AC=2AD，
由（1）知，∠AEB=∠CED，
∵∠ABE=∠DCE=45°，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{CD}$=$\frac{2CD}{CD}$=2
∴$\frac{AE+DE}{DE}=\frac{2+1}{1}$，
∴$\frac{AG}{DE}=3$，
∵△ABD≌△CAG，
∴BD=AG，
∴$\frac{BD}{DE}$=3；
（3）∵∠AFD=∠BAC=60°，
又∵∠AFD=∠ABD+∠BAE=60°，∠BAE+∠EAC=60°，
∴∠ABD=∠EAC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠BAC=60°，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EAC}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠C}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠AEC=∠CDE，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CEA，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CE}$，
∴CE²=CD•CA，
∴AD²=（AC-AD）•AC，
即AD²+AD•AC-AC²=0
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC（舍负取正），
∴CD=AC-AD=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
∵∠ADB=∠CDE，∠BAD=∠C=60°，
∴△ABD∽△CED，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{AB}{CE}$，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{AC}{AD}=\frac{AC}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解本题的关键是判断出△ABE∽△DCE．