Question

3．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）设抛物线与y轴交于点C，点D在抛物线上，且∠CAD=90°，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P在线段AD上，且tan∠BCP=$\frac{1}{3}$，判断△CBP的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B两点的坐标代入抛物线解析式即可求出b、c；
（2）先求出直线AC的解析式，再求出直线AD的解析式，将AD解析式与抛物线联立即可求出D点坐标；
（3）由于tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{1}{3}$=tan∠BCP，则可得出∠ACO=∠BCP，从而得出∠ACP=∠OCB=45°，又因为∠CAP=∠COB=90°，故△CAP∽△COB，用相似比例求出CP，通过验证$\frac{BC}{CP}$就是∠BCP的余弦，从而得出△CBP是直角三角形．

解答 解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入抛物线解析式算得：b=2，c=3；
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）过A作AD垂AC交抛物于点D，如图1，

直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
将直线AD的解析式与抛物线解析式联立可解得D点坐标为（$\frac{10}{3}$，-$\frac{13}{9}$）；
（3）如图2，

∵B（3，0），C（0，3），
∴∠OCB=45°，BC=3$\sqrt{2}$，
∵tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{1}{3}$，tan∠BCP=$\frac{1}{3}$，
∴∠ACO=∠BCP，
∴∠ACP=∠OCB，
∵∠CAP=∠COB=90°，
∴△CAP∽△COB，
∴$\frac{CP}{AC}=\frac{BC}{OC}=\sqrt{2}$，
∵A（-1，0），
∴AC=$\sqrt{10}$，
∴CP=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{BC}{CP}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵tan∠BCP=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠BCP=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{BC}{CP}$，
∴△CBP是直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，两直线相互垂直的性，联立方程求交点坐标，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数等多个知识点，有一定综合性，难度中等．第（2）问的关键是根据CA与AD垂直求直线AD的解析式；第（3）问的关键是识别出△CAP∽△COB．