Question

【题目】如图：Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为 BC 边中点，CF⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 F，BE交 AC 于 G，连 DF，下列结论：①AC＝AF，②CD＋DF＝AD，③∠ADC＝∠BDF，④CE＝BE，⑤∠ BED＝45°，其中正确的有（ ）

A. 5 个B. 4 个C. 3 个D. 2 个

Answer 1

【答案】D

【解析】

如图，作BH⊥BC交CF的延长线于H，作BN⊥AD交AD的延长线于N，BM⊥CH于M．想办法证明△ACD≌△CBH（ASA），△BFD≌△BFH（SAS），△ACE≌△CBE（AAS），△CDE≌△BDN（AAS），利用全等三角形的性质一一判断即可．

如图，作BH⊥BC交CF的延长线于H，作BN⊥AD交AD的延长线于N，BM⊥CH于M．

∵AD⊥CF，BH⊥BC，
∴∠ACD=∠CBH=∠AEC=90°，
∵∠CAD+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCH=90°，
∴∠CAD=∠BCH，
∵CA=CB，
∴△ACD≌△CBH（ASA），
∴∠ADC=∠H，CD=BH，AD=CH，
∵CD=BD，
∴∠BD=BH，
∵∠FBD=∠FBH=45°，BF=BF，
∴△BFD≌△BFH（SAS），
∴∠H=∠BDF，DF=FH，
∴∠ADC=∠BDF，故③正确，
∵AD=CH，CH=FH+CF=DF+CF，
∵CF＞CD，
∴AD≠DF+CD，故②错误，
假设①成立，则∵AE⊥CF，
∴CE=EF，∵CD=DB，
∴DE∥BF，显然与已知矛盾，故①错误，
∵∠CAE=∠BCM，∠AEC=∠CMB，AC=BC，
∴△ACE≌△CBE（AAS），
∴CE=BM，
∵BE＞BM，
∴CE≠BE，故④错误，
∵∠CED=∠N=90°，∠CDE=∠BDN，CD=BD，
∴△CDE≌△BDN（AAS），
∴CE=BN，
∵EC=BM，
∴BM=BN，∵BM⊥EH，BN⊥EN，
∴BE平分∠NEH，
∵∠NEH=90°
∴∠BEF=×90°=45°．故⑤正确．
故选：D．