Question

在△ABC中，已知AB=37，AC=58，在BC上有一点D使得AB=AD，且D在B、C之间．若BD与DC的长度都是整数，则BD的长度是

 

．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：首先过点A作AH⊥BC于H，由勾股定理可得：AC²=AH²+CH²，AB²=AH²+BH²，则可得AC²-AB²=CH²-BH²=（CH+BH）（CH-BH）=BC×CD．由AB=37，AC=58，可得BC×CD=3×5×7×19，然后根据三角形三边关系与BD与DC的长度都是整数，确定BC=35或57，然后分析求解即可求得答案．

解答：解：过点A作AH⊥BC于H，
则AC²=AH²+CH²，AB²=AH²+BH²，
故AC²-AB²=CH²-BH²=（CH+BH）（CH-BH）=BC×CD．
∵AB=37，AC=58，
∴BC×CD=58²-37²=3×5×7×19．
∵AC-AB＜BC＜AC+AB，
∴21＜BC＜95，
∵BC为整数，
∴BC=35或BC=57．
若BC=35，则CD=3×19=57＞BC，D不在B、C之间，故应舍去．
∴应取BC=57，这时CD=35，BD=22．
故答案为：22．

点评：此题考查了三角形的三边关系、勾股定理以及平方差公式等知识．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合与分类讨论思想的应用．