Question

如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF、MN分别平行BC、AB，交两组对边于E、F、M、N，则四边形EBMP和PFDN都是正方形，设正方形EBMP的边长为a，正方形PFDN的边长为b．
（1）由此图可以推导出哪个学过的乘法公式？请你试一试；
（2）2ab与a²+b²有什么大小关系？试着选用几组特殊值，比较2ab与a²+b²的大小，得出结论；
（3）探索：当点P在BD上什么特殊位置时，有2ab=a²+b²．

Answer 1

解：（1）根据长方形和正方形的面积公式可以得出：
（a+b）²=a²+2ab+b²；

（2）根据（1）可得：a²+b²≥2ab，
如：当a=1，b=3时，
1²+3²=10，2×1×3=6，
则a²+b²＞2ab，
当a=3，b=3时，
3²+3²=18，2×3×3=18，
则a²+b²=2ab，
由此可得：当a与b不相等的时，a²+b²＞2ab，当a与b相等的时，a²+b²=2ab；

（3）根据（2）得出的结论，当P在正方形ABCD的正中间的时候，总有a²+b²=2ab．
分析：（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式即可得出答案；
（2）根据（1）得出的结论和用特殊值法得出的结论，即可判断出当a与b不相等的时，a²+b²＞2ab，当a与b相等的时，a²+b²=2ab；
（3）根据（2）得出的结论，当a=b时，a²+b²=2ab，即可得出P在大正方形的正中间的时候，有2ab=a²+b²．
点评：主要考查了分解因式与几何图形之间的联系，从几何的图形来解释分解因式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图列，找到组成图形的各个部分，并用面积公式进行求解．