Question

17．小明在某次作业中得到如下结果：
sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，
sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，
sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，
sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，
sin²45°+sin²45°≈（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²+（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°-α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°-α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

Answer 1

分析 （1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A=α，则∠B=90°-α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．

解答 解1：（1）当α=30°时，
sin²α+sin²（90°-α）
=sin²30°+sin²60°
=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²
=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$
=1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，

设∠A=α，则∠B=90°-α，
∴sin²α+sin²（90°-α）
=（$\frac{BC}{AB}$）²+（$\frac{AC}{AB}$）²
=$\frac{B{C}^{2}+A{C}^{2}}{A{B}^{2}}$
=$\frac{A{B}^{2}}{A{B}^{2}}$
=1．

点评 本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．