Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P从点A出发，沿折线AC-CB向终点B运动，点P在AC上的速度为每秒2个单位长度，在CB上的速度为每秒1个单位长度，同时，点Q从点A出发，沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达终点时，点P也随之停止．过点P作PM⊥AD于点M，连接QM，以PM、QM为邻边作?PMQN，设?PMQN与矩形ABCD重叠部分图形的周长为d（长度单位），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）
（1）求AC的长
（2）用含t的代数式表示线段CP的长．
（3）当点P在线段AC上时，求d与t之间的函数关系式．
（4）经过点N的直线将矩形ABCD的面积平分，若该直线同时将?PMQN的面积分成1：3的两部分，直接写出此时t的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形讨论即可．
（3）分两种情形①当0＜t≤$\frac{5}{3}$时，如图2中，重叠部分是四边形PMQN，②当$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{5}{2}$，如图3中，重叠部分是五边形EFPMQ．分别求解即可；
（4）因为经过点N的直线将矩形ABCD的面积平分，所以这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．①如图4中，当直线ON经过PM的中点时，直线ON将?PMQN的面积分成1：3的两部分．②如图5中，当直线ON经过QM的中点时，直线ON将?PMQN的面积分成1：3的两部分．③如图6中，当点P在BC上，PM经过点O时，直线ON将?PMQN的面积分成1：3的两部分；分别求解即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AC的长为5．

（2）当点P在线段AC上，CP=5-2t，
当点P在线段CB上，CP=t-$\frac{5}{2}$．

（3）如图1中，当N在BC上时．

∵AP=2t，AQ=t，
∴AQ=PQ，
∵PM⊥AD，
∴∠AMP=90°，
∴QM=$\frac{1}{2}$AP=t，
由△APM∽△ACD，可得$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PM}{CD}$，
∴$\frac{2t}{5}$=$\frac{PM}{3}$，
∴PM=$\frac{6}{5}$t，
由△CNQ∽△CBA，可得$\frac{QN}{AB}$=$\frac{CQ}{CA}$，
∴$\frac{\frac{6}{5}t}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
解得t=$\frac{5}{3}$，
当0＜t≤$\frac{5}{3}$时，如图2中，重叠部分是四边形PMQN，

d=2（t+$\frac{6}{5}t$）=$\frac{22}{5}$t，
当$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{5}{2}$，如图3中，重叠部分是五边形EFPMQ．

d=$\frac{22}{5}$t-（1+$\frac{5}{3}$）（$\frac{9}{5}t$-3）+$\frac{4}{3}$（$\frac{9}{5}$t-3）=2t-4．

（4）∵经过点N的直线将矩形ABCD的面积平分，
∴这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．
①如图4中，当直线ON经过PM的中点时，直线ON将?PMQN的面积分成1：3的两部分，
此时：由OQ：OP=NQ：PE=2：1，可得（$\frac{5}{2}$-t）：（2t-$\frac{5}{2}$）=2：1，解得t=$\frac{3}{2}$．

②如图5中，当直线ON经过QM的中点时，直线ON将?PMQN的面积分成1：3的两部分，
此时：由OQ：OP=NQ：PE=1：2，可得（$\frac{5}{2}$-t）：（2t-$\frac{5}{2}$）=1：2，解得t=$\frac{15}{8}$．


③如图6中，当点P在BC上，PM经过点O时，直线ON将?PMQN的面积分成1：3的两部分，易知t=$\frac{9}{2}$s．

综上所述，满足条件的t的值为t=$\frac{3}{2}$s或$\frac{15}{8}$s或$\frac{9}{2}$s时．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．