Question

【题目】在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=8，点D是边AC的中点，动点P在边AB上(点P不与点A重合)，连接PD、PC，将△PDC沿直线PD翻折，点C落在点E处得△PDE．

（1）如图①，若点E恰好与点A重合，求线段AP的长；

（2）如图②，若ED交AB于点F，四边形CDEP为菱形，求证：△PFE≌△AFD；

（3）连接AE，设△PDE与△ABC重叠部分的面积为S1，△PAC的面积为S2，若S1=S2时，请直接写出tan∠AED的值．

Answer 1

【答案】（1）AP=5；（2）证明见解析；（3）3或．

【解析】

（1）根据翻折的性质得AP=PC，设AP=x，根据勾股定理列出方程，解出x的值即可；

（2）根据菱形的性质得出PE∥CD，PE=CD，在根据此条件和D是AC的中点可得出AD=PE，PE∥AC，然后即可推出△PFE≌△AFD；

（3）根据S1=S2推出AF=PF，EF=DF，然后分两种情况讨论如下图：①过D作DM⊥AP于点M，过C作CN⊥PD于点N；②过D作DM⊥AP于点M，再分别计算即可．

（1）∵△PDE由△PDC翻折所得

∴AP=PC，

设AP=x，

∵∠B=90°，

∴在Rt△PBC中，PC2=PB2+BC2，

即x2=（8-x）2+42，

解得x=5，

∴AP=5；

（2）∵四边形CDPE为菱形，

∴PE∥CD，PE=CD，

∵D是AC的中点，

∴AD=CD，

∴AD=PE，

∵PE∥CD，

∴PE∥AC，

∴∠APE=∠PAD，∠DEP=∠ADE，

在△PFE与△AFD中，

∴△PFE≌△AFD；

（3）∵D是AC的坐标，

∴S△ADP=S△CDP=S△PAC，

由折叠可得：S△PDE=S△CDP，

∴S△PDF=S△PAC=S△ADP=S△PDE，

∴AF=PF，EF=DF，

①如图，四边形AEPD是平行四边形，

过D作DM⊥AP于点M，过C作CN⊥PD于点N，

则∠AED=∠EDP=∠PDC，

∵，∠B=90°，BC=4，AB=8，

∴AC=，

∴PC=PE=AD=，

∴PB=，

∴BM=AB=4，DM=BC=2（中位线），

∴PM=BM-PB=2，

∴DP=，

∴DN=，CN=，

∴tan∠AED=tan∠PDC==3，

②如图，过D作DM⊥AP于点M

，

∵AP=DE=DC=，

∴PM=-4，

∴tan∠AED=tan∠DPM=，

综上：tan∠AED的值为3或．