Question

如图，在四边形ABCD中，对角线BD、AC相交于点G，∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，∠ACD=24°．
（1）求证：BG=AC．
（2）求∠ADB的度数．

Answer 1

（1）证明∵∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°=∠ACB，
∴AB=AC，
又∠AGB=∠ACB+∠DBC=48°+36°=84°，
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=84°，
∴∠BAG=∠BGA=84°，
∴BG=BA，
∴BG=AC．

（2）解：在四边形ABCD形外作∠PBA=∠DBA=12°，并使BP=BD，连AP、PC．
则在△PAB和△DBA中
，
∴△PBA≌△DBA（SAS），
∠BPA=∠BDA，
又∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=48°+24°=72°，
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD=BP，
又∠PBC=∠PBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°，
∴△PBC为等边三角形．
∴PB=PC，
∵在△PBA和△PCA中

∴△PBA≌△PCA（SSS），
∴∠BPA=∠CPA=30°．
∴∠ADB=∠BPA=30°．
分析：（1）求出∠ABC，推出AB=AC，求出∠AGB和∠BAC的度数，推出BG=AB，即可得出答案；
（2）在四边形ABCD形外作∠PBA=∠DBA=12°，并使BP=BD，连AP、PC，根据SAS推出△PBA≌△DBA，推出∠BPA=∠BDA，求出∠BCD、∠BDC的度数，推出BC=BD=BP，求出∠PBC的度数，推出△PBC为等边三角形．推出PB=PC．根据SSS证△PBA≌△PCA，推出∠BPA=∠CPA=30°，即可得出答案．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．