【题目】如图,在边长为2的正方形ABCD中,G是AD延长线上的一点,且DG=AD,动点M从A点出发,以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动(M不与A,G重合),设运动时间为t秒,连接BM并延长AG于N.
(1)是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若存在,分析点M的位置;若不存在,请说明理由;
(2)当点N在AD边上时,若BN⊥HN,NH交∠CDG的平分线于H,求证:BN=HN;
(3)过点M分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F,矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S,求S的最大值.
【答案】
(1)
解:存在;当点M为AC的中点时,AM=BM,则△ABM为等腰三角形;
当点M与点C重合时,AB=BM,则△ABM为等腰三角形;
当点M在AC上,且AM=2时,AM=AB,则△ABM为等腰三角形;
当点M在AC上,且AM=BM时,AM= AC=
×2
=
时,则△ABM为等腰三角形;
当点M为CG的中点时,AM=BM,则△ABM为等腰三角形;
(2)
证明:在AB上截取AK=AN,连接KN;如图1所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,AB=AD,
∴∠CDG=90°,
∵BK=AB﹣AK,ND=AD﹣AN,
∴BK=DN,
∵DH平分∠CDG,
∴∠CDH=45°,
∴∠NDH=90°+45°=135°,
∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°,
∴∠BKN=∠NDH,
在Rt△ABN中,∠ABN+∠ANB=90°,
又∵BN⊥NH,
即∠BNH=90°,
∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°,
∴∠ABN=∠DNH,
在△BNK和△NHD中,
,
∴△BNK≌△NHD(ASA),
∴BN=NH;
(3)
解:①当M在AC上时,即0<t≤2 时,△AMF为等腰直角三角形,
∵AM=t,
∴AF=FM= t,
∴S= AFFM=
×
t×
t=
t2;
当t=2 时,S的最大值=
×(2
)2=2;
②当M在CG上时,即2 <t<4
时,如图2所示:
CM=t﹣AC=t﹣2 ,MG=4
﹣t,
在△ACD和△GCD中,
,
∴△ACD≌△GCD(SAS),
∴∠ACD=∠GCD=45°,
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°,
∴∠G=90°﹣∠GCD=45°,
∴△MFG为等腰直角三角形,
∴FG=MGcos45°=(4 ﹣t)
=4﹣
t,
∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG= ×4×2﹣
×CM×CM﹣
×FG×FG
=4﹣ (t﹣2
)2﹣
(4﹣
)2=﹣
+4
t﹣8
=﹣ (t﹣
)2+
,
∴当t= 时,S的最大值为
.
【解析】(1)四种情况:当点M为AC的中点时,AM=BM;当点M与点C重合时,AB=BM;当点M在AC上,且AM=2时,AM=AB;当点M在AC上,且AM=BM时,AM= 时;当点M为CG的中点时,AM=BM;△ABM为等腰三角形;(2)在AB上截取AK=AN,连接KN;由正方形的性质得出∠ADC=90°,AB=AD,∠CDG=90°,得出BK=DN,先证出∠BKN=∠NDH,再证出∠ABN=∠DNH,由ASA证明△BNK≌△NHD,得出BN=NH即可;(3)①当M在AC上时,即0<t≤2
时,△AMF为等腰直角三角形,得出AF=FM=
t,求出S=
AFFM=
t2;当t=2
时,即可求出S的最大值;
②当M在CG上时,即2 <t<4
时,先证明△ACD≌△GD,得出∠ACD=∠GCD=45°,求出∠ACM=90°,证出△MFG为等腰直角三角形,得出FG=MGcos45°=4﹣
t,得出S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG , S为t的二次函数,即可求出结果.
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【题目】提出命题:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,求证:四边形ABCD是平行四边形.
小明提供了如下解答过程:
证明:连接BD.
∵∠1+∠3=180-∠A,∠2+∠4=180―∠C,∠A=∠C,
∴ ∠1+∠3=∠2+∠4.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠1=∠4,∠2=∠3.
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
反思交流:(1)请问小明的解法正确吗?如果有错,说明错在何处,并给出正确的证明过程.
(2)用语言叙述上述命题:___________________________________________________.
运用探究:(3)下列条件中,能确定四边形ABCD是平行四边形的是(_____)
A. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 B. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3
C. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶3∶2 D. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶1∶3∶3
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【题目】已知分式.
(1)当____时,分式的值等于零;
(2)当____时,分式无意义;
(3)当___且___时分式的值是正数;
(4)当____时,分式的值是负数.
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【题目】在中,
,点
是直线
上一点(不与
重合),以
为一边在
的右侧作
,使
,连接
.
(1)如图1,当点在线段
上,如果
,则
度;
(2)设,
.
①如图2,当点在线段
上移动,则
之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点在直线
上移动,则
之间有怎样的数量关系?请画出图形并直接写出相应的结论.
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【题目】我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3;用<a>表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.
解决下列问题:
(1)[-4.5]=___,<3.5>=___;
(2)若[x]=2,则x的取值范围是___;若<y>=-1,则y的取值范围是___.
(3)已知x,y满足方程组求x,y的取值范围.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,E是AB的中点,直线l平行于直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2,点F在矩形ABCD边上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点A恰好落在直线l上,则DF的长为 .
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【题目】为了推进我市校园体育运动的发展,2017年义乌市中小学运动会在雪峰中学成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价间的关系如下表:
篮球 | 排球 | |
进价(元/个) | 80 | 50 |
售价(元/个) | 105 | 70 |
(1)商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个?
(2)设商店所获利润为y(单位:元),购进篮球的个数为x(单位:个),请写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求出最大利润是多少?
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