Question

【题目】以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．

（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；

（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．

Answer 1

【答案】（1）∠QOP=60°；（2）QD=.

【解析】（1）解：如图一，连结AQ．

由题意可知：OQ=OA=1.

∵OP=2,

∴A为OP的中点.

∵PQ与相切于点Q,

∴为直角三角形.

∴.

即ΔOAQ为等边三角形.

∴∠QOP=60°．

（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度

继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点处（如图二）.

设直线PQ与的另外一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点.

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,

∴QP=.

∵,

∴OC=.

∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,

∴QC=.

∴QD=．

（1）利用切线性质定理，以及OQ与OP之间的关系，可得出∠QOP的度数

（2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．