Question

6．数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；
（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；
（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α-β=120°（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）作辅助线构建全等三角形，证明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，则∠ADB=∠AD′B=30°；
（2）分两种情况进行讨论：第一种情况：当60°＜α≤120°时，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度数，从而得∠ABD′和∠D′BC的度数，得到△BD′C是等边三角形，根据（1）同理得出∠ADB=∠AD′B=30°；第二种情况：当0°＜α＜60°时，仍然按此过程求出∠ADB=∠AD′B=150°；
（3）分三种情况讨论：第一种情况：如图4，当120°＜α＜180°时，构建等边三角形D′BC，可知此时满足α-β=120°时，∠ADB的度数与（1）相同为30°；第二种情况：如图5，当0°＜α＜120°时，当△BDC是等边三角形时，即满足β=60°时，∠ADB的度数与（1）相同为30°；第三种情况：如图6，当120°＜α＜180°时，构建等边三角形DBC，与第二种情况一样，即满足β=60°时，∠ADB的度数与（1）相同为30°．

解答 解：（1）如图1

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
∵AB=AC，AD'=AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°，
（2）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，

如图2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-$\frac{α}{2}$-β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}$-β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-$\frac{α}{2}-β+90°-\frac{α}{2}$=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
以下同（1）可求得∠ADB=30°，
第二种情况：当0°＜α＜60°时，
如图3，

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=$\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=$β-（90°-\frac{α}{2}）$，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=$β-（90°-\frac{α}{2}）$，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}-[β-（90°-\frac{α}{2}）]=180°-（α+β）$，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°，
（3）点D和点A在直线BC的异侧时，分三种情况讨论：
第一种情况：如图4，
当120°＜α＜180°时，连接CD′，
同理构建△ABD′≌△ABD，
∴∠DBA=∠D′BA，
同理可知：∠CBA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DBA=90°-$\frac{1}{2}$α+β，
∴∠DBA=∠D′BA=90°-$\frac{1}{2}$α+β，
∴∠CBD′=90°-$\frac{1}{2}$α+90°-$\frac{1}{2}$α+β=180°-α+β，
∵BD=BD′=BC，
∴当△D′BC为等边三角形时，∠AD′B=∠ADB=30°，
即180°-α+β=60°，
∴α-β=120°；
第二种情况：如图5，
当0°＜α＜120°时，连接CD，
∵BD=BD′=BC，
与图4同理可知：当△BDC是等边三角形时，
即β=60°，
此时△ABD≌△ACD，
则∠ADB=∠ADC=30°，
第三种情况：如图6，
当120°＜α＜180°时，连接CD，
同理构建△ABD′≌△ABD，
∵BD=BD′=BC，
当△BDC是等边三角形时，
即β=60°，
此时△ABD≌△ACD，
则∠ADB=∠ADC=30°，
综上所述，当满足0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α-β=120°时，∠ADB=30°；
故答案为：0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°时，α-β=120°．

点评 本题是几何变换的综合题，考查了等腰三角形、全等三角形、等边三角形边和角的关系；在等腰三角形中，已知一个角的度数，就能表示另外两个角的度数；同时本题还运用了分类讨论的思想，这在数学解题中是一个难点．