(2013•邓州市一模)如图.在等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AB=DC=50.AD=75.BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动,点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动,点P.Q同时出发.当点P与点D重合时停止运动.点Q也随之停止.设点P的运动时间为t秒．(1)点P到达点A.D的时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•邓州市一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动；点Q从点C出

发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动；点P、Q同时出发，当点P与点D重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P的运动时间为t秒．
（1）点P到达点A、D的时间分别为

秒和

秒；
（2）当点P在BA边上运动时，过点P作PN∥BC交DC于点N，作PM⊥BC，垂足为M，连接NQ，已知△PBM与△NCQ全等．
①试判断：四边形PMQN是什么样的特殊四边形？答：

矩形

；
②若PN=3PM，求t的值；
（3）当点P在AD边上运动时，是否存在PQ=DC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据AB=50，AD=75点P从点B出发沿折线段BA-AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动即可直接得出结论；
（2）①先由PM⊥BC可知∠PMQ=90°，再由△PBM≌△NCQ即可得出PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，故可得出四边形PMQN是矩形；
②依题意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t，在Rt△PBM中利用勾股定理即可求出PM的长，再由PN=3PM即可求出t的值；
（3）当点P在AD上（即10≤t≤25）时，存在PQ=DC．有下列两种情况：
①当PQ∥DC时，由于PD∥QC，所以四边形PQCD是平行四边形，根据四边形的对边相等即可得出t的值；
②当PQ∥AB时，由AP∥BQ，可知四边形ABQP是平行四边形，根据四边形的对边相等即可得出t的值．

解答：解：（1）∵AB=50，AD=75点P从点B出发沿折线段BA-AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动，
∴当点P于点A重合时，t=

=10；
当点P于点D重合时，t=

AB+AD

50+75

=25．
故答案为：10和25；

（2）①∵PM⊥BC，
∴∠PMQ=90°，
∵△PBM≌△NCQ，
∴PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，
四边形PMQN是矩形
②依题意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t
∴MQ=BC-2CQ=135-6t
∵四边形PMQN是矩形
∴PN=MQ=135-6t
∵PM⊥BC
∴∠PMB=90°
根据勾股定理，得：PM=

PB2-BM2

(5t)2-(3t)2

=4t，
∵PN=3PM，135-6t=3×4t
解得：t=7.5；

（3）当点P在AD上（即10≤t≤25）时，存在PQ=DC．有下列两种情况：

①如图1，当PQ∥DC时，
∵PD∥QC
∴四边形PQCD是平行四边形
∴PQ=DC，PD=QC
此时135-5t=3t
解得：t=

135

；

②如图2，当PQ∥AB时，

∵AP∥BQ
∴四边形ABQP是平行四边形
∴AP=BQ
即：5t-50=135-3t
解得：t=

185

．
综上所述，当点P在AD边上运动时，存在PQ=DC，t=

135

或t=

185

点评：本题考查的是等腰梯形的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．

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科目：初中数学 来源： 题型：

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（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．