Question

图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高与面积；
（2）图1中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；
（4）求出图2中四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的边长为1，做底边上的高h，利用勾股定理可求h=

3

2

，S_△=

3

4

；
（2）把平行四边形所占的网格中的正三角形数一下即可，有24个，那么S?=6

3

；
（3）作BC边上的高AK，垂足为K，据图可知，∠B=60°，则∠BAK=30°，由AB=6，利用勾股定理，可求BK=

3

2

，AK=

3

2

3

，CK=

5

2

，利用勾股定理，可求AC=

13

；
（4）如图，可构造平行四边形，比如以FG为对角线构造平行四边形FPGM，S_FPGM=6S_△，故S_△FGM=3S_{单位正三角形}，同理可得其他部分的面积，于是S_EFGH=（3+4+8+9+8）×

3

4

=8

3

．

解答：解：（1）单位正三角形的高为

3

2

，面积为

3

4

．（1分）

（2）平行四边形ABCD含有24个单位正三角形．（2分）
其面积为24×

3

4

=6

3

（3分）

（3）过点A作AK⊥BC于K（如图1）．
在Rt△ACK中，AK=

3

2

3

，KC=

5

2

．
∴AC=

AK2+KC2

=

( 3 2 3 )2+( 5 2 )2

=

13

（4分）

（4）解法一：如图2所示，将四边形EFGH分割成五部分．
以FG为对角线构造平行四边形FPGM，
∵平行四边形FPGM中含有6个单位正三角形，
∴S_△FGM=3S_{单位正三角形}．
同理可得到其他四部分面积．
∴S_{四边形EFGH}=（3+4+8+9+8）×

3

4

=8

3

（8分）

解法二：如图3所示，构造平行四边形EQSR．
过点F作FT⊥QG于T，则
S_△FQG=

1

2

FT•QG=

1

2

×

3 3

2

×4=3

3

同理可求S_△GSH=

3

，
S_△EHR=6

3

，S_{平行四边形EQSR}=18

3

∴S_{四边形EFGH}=S_{平行四边形EQSR}-S_△FQG-S_△GSH-S_△EHR
=18

3

-3

3

-

3

-6

3

=8

3

．（8分）

点评：本题利用了正三角形的性质，勾股定理，有一个锐角是30°的直角三角形的性质，及构造平行四边求图形面积等知识．