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    （2013•武侯区一模）已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边（c＞b），关于x的方程x2-2（b+c）x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，且∠B、∠C满足关系式
    		3
    sin∠B=sin∠C    ，△ABC的外接圆面积为64π．
    （1）求a，b，c的长．
    （2）若D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，点P为AB边上的一个动点，PQ∥AC，且交BC于点Q，以PQ为一边向点B的异侧作正三角形PQH，设正三角形PQH与矩形EDAF的公共部分的面积为S，BP的长为
    		3
    x．直接写出S与x之间的关系．
    （3）在（2）的情况下，当x=4
    		3
    时，求S的值．
    分析：（1）先由关于x的方程x2-2（b+c）x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，得出判别式△=0，化简得出b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠A=90°，再由
    		3
    sin∠B=sin∠C    ，根据正弦定理得出
    		3
    b=c，然后由，△ABC的外接圆面积为64π即可求出a=16，b=8，c=8
    		3
    ；
    （2）分五种情况进行讨论：①0≤x≤
    8
    3
    ；②
    8
    3
    ＜x≤4；③4＜x≤
    16
    3
    ；④
    16
    3
    ＜x≤6；⑤6＜x≤8；每一种情况画出对应的图形，再根据图形将所求公共部分的面积写成规则图形的和差形式，然后计算即可；
    （3）由于x=4
    		3
    ＞6，所以直接将x=4
    		3
    代入（2）中第五种情况下S与x的关系式中，计算即可．
    解答：解：（1）∵关于x的方程x2-2（b+c）x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，
    ∴△=[-2（b+c）]2-4×1×（2bc+a2）=4（b2+c2-a2）=0，
    ∴b2+c2=a2，
    ∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°．
    ∵
    		3
    sin∠B=sin∠C    ，
    ∴
    		3
    b=c，
    ∴4b2=a2，
    ∴a=2b．
    ∵S=π×（
    a
    2
    ）2=64π，
    ∴a=16，b=8，c=8
    		3
    ；

    （2）在Rt△ABC中，∵∠A=90°，a=16，b=8，c=8
    		3
    ，
    ∴∠B=30°，∠C=60°．
    在Rt△BPQ中，∵∠BPQ=90°，BP=
    		3
    x，
    ∴PQ=BP•tan30°=x．
    分五种情况：
    ①当0≤x≤
    8
    3
    时，如图1，S=0；
    ②当
    8
    3
    ＜x≤4时，如图2，S=S正△FGH，作正三角形PQH的高HJ，HJ交GF于I．
    ∵HJ=PHsin60°=
    		3
    2
    x，
    ∴HI=HJ+BP-BD=
    		3
    2
    x+
    		3
    x-4
    		3
    =
    3
    		3
    2
    x-4
    		3
    ，
    ∴GI=
    3
    2
    x-4，GF=2GI=3x-8，
    ∴S=S正△FGH=
    		3
    4
    （3x-8）2；
    ③当4＜x≤
    16
    3
    时，如图3，S=S△PQH-S△MNQ．
    ∵PQ=x，PM=DE=
    1
    2
    AC=4，
    ∴MQ=PQ-PM=x-4，
    ∴MN=
    		3
    MQ=
    		3
    （x-4），
    ∴S=S△PQH-S△MNQ=
    		3
    4
    x2-
    1
    2
    •
    		3
    （x-4）•（x-4）=-
    		3
    4
    x2+4
    		3
    x-8
    		3
    ；
    ④当
    16
    3
    ＜x≤6时，如图4，S=S矩形APMF-S△PAK-S△NLF．
    ∵BP=
    		3
    x，PM=DE=4，
    ∴AP=AB-BP=8
    		3
    -
    		3
    x，
    ∴S矩形APMF=PM•AP=4（8
    		3
    -
    		3
    x）．
    ∵AK=
    		3
    3
    AP=8-x，
    ∴S△PAK=
    1
    2
    AP•AK=
    1
    2
    （8
    		3
    -
    		3
    x）•（8-x）=
    		3
    2
    （8-x）2．
    ∵MN=
    		3
    MQ=
    		3
    （x-4），
    ∴NF=MF-MN=（8
    		3
    -
    		3
    x）-
    		3
    （x-4）=12
    		3
    -2
    		3
    x，
    ∴LF=
    		3
    3
    NF=12-2x，
    ∴S△NLF=
    1
    2
    NF•LF=
    1
    2
    （12
    		3
    -2
    		3
    x）•（12-2x）=
    		3
    2
    （12-2x）2．
    ∴S=S矩形APMF-S△PAK-S△NLF
    =4（8
    		3
    -
    		3
    x）-
    		3
    2
    （8-x）2-
    		3
    2
    （12-2x）2
    =-
    5
    		3
    2
    x2+28
    		3
    x-72
    		3
    ；
    ⑤当6＜x≤8时，如图5，
    S=S矩形APMF-S△PAK=4（8
    		3
    -
    		3
    x）-
    		3
    2
    （8-x）2=-
    		3
    2
    x2+4
    		3
    x；

    （3）在（2）的情况下，当x=4
    		3
    ＞6时，
    S=-
    		3
    2
    ×（4
    		3
    ）2+4
    		3
    ×4
    		3
    =48-24
    		3
    ．
    点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，勾股定理的逆定理，正弦定理，三角形外接圆的性质，解直角三角形，等边三角形、矩形的性质，图形的面积，综合性较强，难度较大．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．
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    y=-
    1
    3
    x+1
    y=-
    1
    3
    x+1
    ．

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