Question

已知抛物线y=ax²-2ax+n（a＞0）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），交y轴的负半轴于点C，且x₁＜x₂，OC=OB，S_△ABC=6
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若D为抛物线的顶点，P为抛物线上的点，且在第二象限，S_△PBD=15，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M，使△MBD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式，可用n表示出C、B的坐标（OB=OC），易求得抛物线的对称轴方程，根据点B的坐标即可求得点A的坐标，从而得到AB的长，利用△ABC的面积即可求得n的值，从而求出A、B、C的坐标，代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）根据（1）题所得抛物线的解析式，即可求得点D的坐标；由于△PBD的面积无法直接求出，需要通过其他图形来间接获得，过P作直线PE∥BD，那么△PBD、△EBD就同底等高，所以面积相等；易求得直线BD的解析式，设出点P的坐标，即可求得PE的函数解析式，从而得到点E的坐标；过D作DF⊥y轴于F，△EBD的面积，可由△EOB、梯形FDBO的面积和减去△EDF的面积获得，根据已知的△PBD的面积（即△EBD的面积）可得到关于P点横坐标的方程，从而求出点P的坐标．
（3）此题应分作三种情况考虑：
①以M为直角顶点，连接CD、BD，根据B、C、D的坐标，易求得BC、CD、BD的长，根据勾股定理逆定理，可求得此时△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，此时点C满足点M的要求；
②以B为直角顶点，已求得直线BD的解析式，由于BM⊥BD，那么直线BM的斜率与直线BD的斜率的乘积为-1，结合点B的坐标，可求得直线BM的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点M的坐标；
③以D为直角顶点，方法同②．

解答：解：（1）易知：C（0，n），B（-n，0）；
由题意知，抛物线的对称轴为：x=1；
故A（n+2，0），AB=-2n-2；
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

（-2n-2）（-n）=6，
即n²+n-6=0，
解得n=2（舍去），n=-3；
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），依题意有：
a（0-3）（0+1）=-3，即a=1；
∴该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）设点P的坐标为（a，a²-2a-3）；
易知B（3，0），D（1，-4），
∴直线BD：y=2x-6；
过P作直线PE∥BD，交y轴于E，则S_△PBD=S_△BED，
设直线PE的解析式为y=2x+h，则有：
2a+h=a²-2a-3，h=a²-4a-3，
即直线PE：y=2a+a²-4a-3，
则E（0，a²-2a-3）；
过D作DF⊥y轴于F，则有：
DF=1，OF=4，EF=a²-2a-3+4=a²-2a+1；
∴S_△EBD=S_△EOB+S_梯形OBDF-S_△EDF
=

1

2

×（a²-2a-3）×3+

1

2

×（1+3）×4-

1

2

×（a²-2a+1）=15，
即a²-4a-12=0，
解得a=6（舍去），a=-2；
∴P（-2，5）．

（3）假设存在符合条件的M点；
已知B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）；
①以M为直角顶点；
连接BC、CD；
则BC=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

；
∴BC²+CD²=18+2=20=BD²，
即△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°；
此时M、C重合，
故M（0，-3）；
②以B为直角顶点；
由（2）知，直线BD：y=2x-6；
可设直线BM：y=-

1

2

x+h，由于点B（3，0），
则有：-

3

2

+h=0，
即h=

3

2

，
∴直线BM：y=-

1

2

x+

3

2

；
联立抛物线的解析式有：

y=x2-2x-3 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得

x=3 y=0

（舍去），

x=- 3 2 y= 9 4

；
∴M（-

3

2

，

9

4

）；
③以D为直角顶点，同②可求得M（

1

2

，-

15

4

）．
综上可知，存在符合条件的M点，且坐标为：M₁（0，-3），M₂（-

3

2

，

9

4

），M₃（

1

2

，-

15

4

）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定等知识．在所求图形面积不规则时，一定要设法将其转化为其他规则图形面积的和差来解；在（3）题中，要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解；此题的综合性较强，难度很大．