Question

12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）

（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：
①求∠AFC的度数；
②求$\frac{{A{F^2}+F{C^2}-B{F^2}}}{AF•FC}$的值；
（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．

Answer 1

分析 （1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用三角函数可得BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，GH=$\frac{1}{2}$y，从而有FH=x-$\frac{1}{2}$y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF²=x²-xy+y²，代入所求代数式就可解决问题；
（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t-6，从而有BE=12-2t，BN=6-t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．
然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，

由题可得BD=CE=t．
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．
在△BDC和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠B=∠ECA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA，
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∴∠AFC=120°；
②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，

∵∠AFG=180°-120°=60°，FG=FA，
∴△FAG是等边三角形，
∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAB=∠FAC．
在△AGB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AFC，
∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，
∴∠BGF=60°．
设AF=x，FC=y，
则有FG=AF=x，BG=CF=y．
在Rt△BHG中，
BH=BG•sin∠BGH=BG•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
GH=BG•cos∠BGH=BG•cos60°=$\frac{1}{2}$y，
∴FH=FG-GH=x-$\frac{1}{2}$y．
在Rt△BHF中，BF²=BH²+FH²
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$y）²+（x-$\frac{1}{2}$y）²=x²-xy+y²．
∴$\frac{{A{F^2}+F{C^2}-B{F^2}}}{AF•FC}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-（{x}^{2}-xy+{y}^{2}）}{xy}$=1；

（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，

由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t-3）=2t-6．
∴BE=6-（2t-6）=12-2t，BN=BE•cosB=$\frac{1}{2}$BE=6-t，
∴DN=t-（6-t）=2t-6，
∴DN=EC．
∵△DEM是等边三角形，
∴DE=EM，∠DEM=60°．
∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°-30°-60°=90°，
∴∠NDE=∠MEC．
在△DNE和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=EC}\\{∠NDE=∠CEM}\\{DE=EM}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△ECM，
∴∠DNE=∠ECM=90°，
∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．
当t=3时，E在点B，D在AB的中点，
此时CM=EN=CD=BC•sinB=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
当t=6时，E在点C，D在点A，
此时点M在点C．
∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第（2）小题的关键．