Question

20．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=$\sqrt{2}$AB，试探究BC，BD的数量关系．
（3）如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用“等邻边四边形”的定义添加条件即可．；
（2）利用旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等三角形的性质易得∠BAD=∠CAF，可得△ACF∽△ADB，由相似三角形的性质可得$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，可得CF=$\sqrt{2}BD$，由四边形的内角和定理可得∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，易得∠CBF=90°，由勾股定理可得BC²+CD²=2BD²；
（3）将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，AD旋转至AB处，易得△APC为等边三角形，可得AP=CP=AC=2，易得S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ABC+S_△ABP=S_△APC-S_△BPC，易得∠BCD=30°，可得∠PBC=360°-∠ABP-∠ABC，所以点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，分析知当S_△CPB的最大值，四边形ABCD面积的最小，即可得出结论．

解答 （1）∵四边形ABCD是“等邻边四边形”，
∴AB=BC，BC=CD，CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；

（2）BC，CD，BD的数量关系为：BC²+CD²=2BD²．
如图1，∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，使得AD旋转至AB处，连接CF，可得△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AF}=\frac{AD}{AB}=1$，
∴△ACF∽△ADB，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{2}BD$，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD）=360°-90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC²+FB²=CF²=${（\sqrt{2}BD）}^{2}$=2BD²，
即BC²+CD²=2BD²；

（3）如图2，将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，AD旋转至AB处，
∵AC=AP，∠CAP=60°，
∴△APC为等边三角形
∴AP=CP=AC=2，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ABC+S_△ABP=S_△APC-S_△BPC，
∵∠BAD=2∠BCD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠PBC=360°-∠ABP-∠ABC
=360°-∠ADC-∠ABC
=∠BAD+∠BC
=60°+30°
=90°．
∴点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．
连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，
∴S_△CPB的最大值为$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∵S_△APC=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}的最小值为S_△APC-S_{△CBP的最大值}=$\sqrt{3}-1$．

点评 本题主要考段变形面积的求法查了全等三角形的性质和旋转的性质，以及多边形面积的求法，作出辅助线，利用旋转的性质是解答此题的关键．