Question

13．如图，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$与x轴、y轴分别交于点A，B两点．点M为x轴上一点，以M为圆心，2为半径作圆，⊙M恰好与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$相切，切点为C．设⊙M与x轴、y轴分别交于D、E、G、F，H为⊙M上一点，连结HC交x轴于点I．给出下列结论：①OA=5；②∠BAO=30°；③点M的坐标为（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，则cos∠HCD=$\frac{3}{5}$．其中正确的有①②③④．

Answer 1

分析 ①正确．求出点A坐标即可判断．
②正确．求出tan∠BAO的值即可判断．
③正确．在Rt△AMC中，根据30度角性质求出AM，即可解决问题．
④正确．只要证明△MCD是等边三角形即可．
⑤错误．由△EIH∽△CID，得到$\frac{EH}{CD}$=$\frac{EI}{IC}$=$\frac{3}{2}$，求出EH，再根据cos∠HCD=cos∠HED=$\frac{EH}{ED}$=$\frac{3}{4}$即可判断．

解答 解：如图，连接CD、HD、EH．

∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$与x轴、y轴分别交于点A，B两点，
令x=0，则y=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，令y=0则x=5，
∴A（5，0），B（0，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
∴OA=5，OB=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$故①正确，
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°．故②正确
∵⊙M与AB相切于点C，
∴CM⊥AC，
∴∠ACM=90°，∵∠CAM=30°，
∴AM=2CM=4，
∴OM=OA-AM=1，
∴点M坐标（1，0）故③正确，
∵∠AMC=90°-∠CAM=60°，MC=DM，
∴△MCD是等边三角形，
∴CD=CM=2，故④正确，
∵∠HEI=∠DCI，∠EIH=∠CID，
∴△EIH∽△CID，
∴$\frac{EH}{CD}$=$\frac{EI}{IC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{EH}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴EH=3，
∵ED是直径，
∴∠EHD=90°，
∴cos∠HCD=cos∠HED=$\frac{EH}{ED}$=$\frac{3}{4}$，
故⑤错误．
故答案为①②③④．

点评 本题考查圆综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．