Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，求证：AB•AC=AD•AE．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠ABE=90°，由垂直的定义得到∠ADC=90°，求得∠ABE=∠ADC，推出△ADC∽△ABE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠E=∠C，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∴AB•AC=AD•AE．

点评 本题考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质，乘积的形式通常可以转化成比例的形式，通过证明三角形相似得出结论．