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    8．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在第一象限的角平分线OD上时停止旋转，旋转过程中，AB边交OD于点M，BC边交x轴于点N，AC与OD相交于点E，与x轴相交于点F．（如图）．
    （1）试探究在旋转的过程中AM、MN、CN三条线段之间的数量关系，并证明你探究的结论．
    （2）在旋转正方形OABC的过程中，若AE=CF，试求此时EF的长．

    分析 （1）延长NC至G，使CG=AM，连接OG，先证△OAM≌△OCG，再证△MON≌△GON即可；
    （2）由所给条件证明AO=AF，再依次算出AC，CF、EF．

    解答 解：（1）MN=AM+CN，理由如下：
    延长NC至G，使CG=AM，连接OG，如图，

    ∵四边形AOCB是正方形，
    ∴OA=OC，∠OAM=∠OCG=∠AOC=90°，
    在△OAM和△OCG中，
    $\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAM=∠OCG}\\{AM=CG}\end{array}\right.$，
    ∴△OAM≌△OCG（SAS），
    ∴OM=OG，∠AOM=∠COG，
    ∴∠AOC=∠MOG=90°，
    ∵OD平分∠AOC，
    ∴∠MON=∠GON=45°，
    在△MON和△GON中，
    $\left\{\begin{array}{l}{OM=OG}\\{∠MON=∠GON}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
    ∴△MON≌△GON（SAS），
    ∴MN=GN，
    ∵NG=NC+CG，
    ∴MN=AM+AN；
    （2）如图，

    ∵四边形AOCB为正方形，
    ∴OA=OC，∠AOC=90°，∠OAC=∠OCA=45°，
    在△OAE和△OCF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
    ∴△OAE≌△OCF（SAS），
    ∴OE=OF，
    ∵∠EOF=45°，
    ∴∠OEF=∠OFE=67.5°，
    ∴∠AOF=∠AFO=67.5°，
    ∵OA=AF=2，
    ∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
    ∴CF=AE=$2\sqrt{2}-2$，
    ∴EF=$2\sqrt{2}-2（2\sqrt{2}-2）=4-2\sqrt{2}$．

    点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转变换等知识点，难度适中．本题是经典的“大角夹半角”模型，旋转补短、构造全等三角形是基本手段，务必掌握．

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    （1）用含t的式子表示 AE=t，AD=12-2t；
    （2）如图2，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
    （3）连接DE，当t=3或$\frac{24}{5}$时，△DEF为直角三角形；
    （4）如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t=4时，四边形AEA′D为菱形．请说明理由；
    （5）在（4）的条件下，判断此时点A′是否在BC上．

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