Question

先阅读下面一段文字，然后猜想，解答问题：
由3²=9=4+5，发现有3²+4²=5²成立；
又5²=25=12+13，仍然有5²+12²=13²；
而7²=49=24+25，还是有7²+24²=25²
…
（1）猜想9²=81=x+y（x、y均为正整数，且x＜y），并且9²+x²=y²，则x=

40

，y=

41

．
（2）是否大于1的奇数都有上面这样的规律？证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据9²=81=40+41得出即可．
（2）根据已知得出规律（2n-1）²+（2n²-2n）²=（2n²-2n+1）²，分别求出两边的值，看看是否相等即可．

解答：解：（1）9²=81=40+41，
且9²+40²=41²，
故答案为：40，41．

（2）（2n-1）²+（2n²-2n）²=（2n²-2n+1）²，
证明：（2n-1）²+（2n²-2n）²=4n²-4n+1+4n⁴-8n³+8n²-4n+1，
（2n²-2n+1）²=4n⁴-8n³+8n²-4n+1，
即（2n-1）²+（2n²-2n）²=（2n²-2n+1）²，
故答案为：40，41．

点评：本题考查了完全平方公式的应用，题目比较好，但是有一定的难度．