Question

如图，M为⊙O上的一点，⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连接PE、PF、BC，下列结论，其中正确的有（　　）
①PE=PF；②PE²=PA•PC；③EA•EB=EC•ED；④

PB

BC

=

R

r

（其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径）

• A、①②③
• B、①②④
• C、②④
• D、①②③④

Answer 1

分析：首先利用圆周角定理以及三角形的外角证明∠F=∠PEF，即可得出PE=PF，再利用圆周角定理证明△PAE∽△PEC，得出PE²=PA•PC，作直径CH，PN，得出△BCH∽△BPN，
即可得出

PB

BC

=

PN

CH

=

2R

2r

=

R

r

，最后证明PC=PB，得出

EA

EC

=

ED

EB

，即EA•EB=EC•ED．

解答：解：连接AB，
∵

AE

=

AE

，
∴∠APE=∠ABE，
∵∠PEF=∠ACD+∠APE，
=∠ABP+∠ABE，
=∠PBE，
∵

PE

=

PE

，
∴∠F=∠PBE，
∴∠F=∠PEF，
∴PE=PF，故①选项正确；

∵

AP

=

AP

，
∴∠ABP=∠AEP，
∵

AD

=

AD

，
∴∠ABP=∠ACD，
∴∠AEP=∠ACD，
∵∠APE=∠APE，
∴△PAE∽△PEC，
∴

PE

PC

=

PA

PE

，
∴PE²=PA•PC，故②正确；

作直径CH，连接BH，∴∠CBH=90°，
作直径PN，连接BN，∴∠PBN=90°，
∴∠CBH=∠PBN，
∵

BC

=

BC

，
∴∠BAC=∠H，
∵∠BAC=∠N（圆内接四边形的外角等于内对角），
∴∠H=∠N，
△BCH∽△BPN，
∴

PB

BC

=

PN

CH

=

2R

2r

=

R

r

，故此④选项正确；

如图（2）连接MA，MB，MC，
∴MA=MB=MC，
设∠MAC=∠MCA=α，
∠MCB=∠MBC=β，
∠MAB=∠MBA=γ，
∵

AM

=

BM

=

1

2

AB

，
∴∠MAB=∠MBA=

1

2

∠APB，
∴∠APB=2γ，
∴∠CAB=∠APB+∠ABP，
α+γ=2γ+∠ABP，
∴∠ABP=α-γ，
∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=α-γ+β+γ=α+β，
∴∠PCB=α+β，∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB，
如图（1）∵PE=PF，PE²=PA•PC=PD•PB，
∴PE•PF=PD•PC，
∴

PE

PC

=

PD

PF

，
∵△PAE∽△PEC，
∴

EA

EC

=

PE

PC

，
∵△BDE∽△FDP，
∴

ED

PD

=

BE

PF

，
∴

ED

EB

=

PD

PF

，
∴

EA

EC

=

ED

EB

，
∴EA•EB=EC•ED，
∴③选项正确，
故①②③④都正确，
故选：D．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理和圆内有关性质等知识，根据已知的作出连接两圆交点的辅助线利用三角形相似得出是解题关键，此题难度较大．