练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2008•盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
    解答下列问题：
    （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
    ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为______，数量关系为______．
    ②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
    （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
    试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
    （3）若AC=2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

    【答案】分析：（1）可通过证明三角形ABC和三角形ACF全等来实现．因为AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．
    （2）可通过构建三角形来求解．过点A作AG⊥AC交BC于点G，如果CF⊥BD，那么∠ACF=∠AGD=90°-∠ACD，又因为∠GAD=∠CAE=90°-∠CAD．AG=AC那么根据AAS可得出△AGD≌△ACF，AG=AC，又因为∠GAC=90°，可得出∠BCA=45°．
    因此△BAC满足∠BCA=45°时，CF⊥BD．
    （3）过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，通过构建与线段相关的三角形相似来求解．
    图中我们可以看出∠ADQ+∠PDC=90°，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC，那么可得出关于CP、CD、AQ、QD的比例关系，因为∠BCA=45°，∠Q=90°，那么AQ=QC=2，如果设CD=x，那么可用x表示出CD、QD，又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例关系，那么可得出关于CP和x的函数关系式，然后根据函数的性质和x的取值范围求出CP的最大值．
    解答：解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等
    ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立
    由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
    ∵∠BAC=90°，
    ∴∠DAF=∠BAC，
    ∴∠DAB=∠FAC
    又∵AB=AC，
    ∴△DAB≌△FAC，
    ∴CF=BD
    ∠ACF=∠ABD
    ∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°
    ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

    （2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）
    理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
    可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
    ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
    即CF⊥BD．

    （3）当具备∠BCA=45°时，
    过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图），
    ∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
    ∵∠BCA=45°，AC=2，
    ∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
    设CD=x，∴DQ=2-x，
    ∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
    且∠ADE=90°，
    ∴∠ADQ+∠PDC=90°，
    又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
    ∴∠ADQ=∠DPC，
    ∵∠AQD=∠DCP=90°
    ∴△AQD∽△DCP，
    ∴=，∴．
    ∴CP=x2+x=（x-1）2+．
    ∵0＜x≤，
    ∴当x=1时，CP有最大值．
    点评：本题中综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及函数关系式等综合知识．本题的关键是根据题意通过作辅助线来构建出和已知，所求等条件相关的三角形，然后通过相似，全等等知识来求解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：2008年全国中考数学试题汇编《二次函数》（06）（解析版） 题型：解答题

    （2008•盐城）如图，直线y=x+b经过点B（-，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
    （1）求∠BAO的度数；
    （2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；
    （3）在抛物线y=x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009年湖北省黄石市中考数学调研试卷（解析版） 题型：解答题

    （2008•盐城）如图，直线y=x+b经过点B（-，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
    （1）求∠BAO的度数；
    （2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；
    （3）在抛物线y=x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2008年江苏省盐城市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2008•盐城）如图，直线y=x+b经过点B（-，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
    （1）求∠BAO的度数；
    （2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；
    （3）在抛物线y=x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2008年全国中考数学试题汇编《图形的相似》（07）（解析版） 题型：解答题

    （2008•盐城）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）
    （1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；
    （2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009年江苏省江阴市中考数学模拟试卷（解析版） 题型：填空题

    （2008•盐城）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片    张．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案