Question

1．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，点A在负半轴，且|a|=3，b是最小的正整数．

（Ⅰ）求线段AB的长；
（Ⅱ）若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=3x-4的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=$\frac{1}{2}$BC+AB，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）如图，若Q是B点右侧一点，QA的中点为M，N为QB的四等分点且靠近于Q点，当Q在B的右侧运动时，有两个结论：①$\frac{1}{2}$QM+$\frac{3}{4}$BN的值不变，②QM-$\frac{2}{3}$BN的值不变，其中只有一个结论正确，请你判断正确的结论，并求出其值．

Answer 1

分析 （I）先根据条件求出a、b的值，再求AB的长；
（II）先解方程求出x的值，则点C在数轴上对应的数为5，从而得出$\frac{1}{2}$BC+AB=6，即PA+PB=6，
分三种情况进行讨论：①点P在A的左侧，②点P在A、B之间，③点P在B的右侧，列式分别计算得出结果；
（III）设点Q在数轴上对应的数为a，分别计算①和②两式的值，不含a的值不变．

解答 解：（I）∵点A在负半轴，且|a|=3，
∴a=-3，
∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∴AB=1-（-3）=4，
则线段AB的长为4；
（II）存在这样的点P，设P在数轴上对应的数为y，
2x+1=3x-4，
x=5，
则点C在数轴上对应的数为5，
∴$\frac{1}{2}$BC+AB=$\frac{1}{2}$×（5-1）+4=6，
分三种情况进行讨论：
①当y＜-3时，即点P在A的左侧，
此时PA+PB=-3-y+1-y=6，y=-4，
②当-3＜y＜1时，即点P在A、B之间，
∵AB=4，
∴PA+PB=AB≠6，所以此种情况不符合条件；
③y＞1时，即点P在B的右侧
此时PA+PB=y+3+y-1=2y+2=6，
y=2，
综上所述：点P对应的数是-4或2；
（III）QM-$\frac{2}{3}$BN的值不变，理由是：
设点Q在数轴上对应的数为a，
∵QA的中点为M，
∴QM=$\frac{1}{2}$AQ，
∵N为QB的四等分点且靠近于Q点，
∴BN=$\frac{3}{4}$BQ，
①$\frac{1}{2}$QM+$\frac{3}{4}$BN=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AQ+$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$BQ=$\frac{1}{4}$（a+3）+$\frac{9}{16}$（a-1）=$\frac{13}{16}$a+$\frac{3}{16}$，
②QM-$\frac{2}{3}$BN=$\frac{1}{2}$AQ-$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$BQ=$\frac{1}{2}$（a+3）-$\frac{1}{2}$（a-1）=2，
所以QM-$\frac{2}{3}$BN的值不变，总是2．

点评 本题考查了数轴和一元一次方程，比较复杂，需要认真理解题意，明确数轴上两点的距离等于两点坐标之差的绝对值是关键．