Question

如图，AD、CE是△ABC的角平分线，AD、CE相交于点F，已知∠B=60°，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AF=FC；②△AEF≌△CDF；③AE+CD=AC；④∠AFC=120°．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①、②当AF=FC、△AEF≌△CDF时，需要∠BAC=∠BCA；
③、④在AC上取AG=AE，连接FG，即可证得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再证得∠CFG=∠CFD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得结论．

解答：解：①假设AF=FC．则∠1=∠4．
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，
∴∠BAC=∠BCA．
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故①不一定正确；

②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．
同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故②不一定正确；

③在AC上取AG=AE，连接FG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中，

AE=AG ∠2=∠1 AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠4+∠1=

1

2

∠ACB+

1

2

∠BAC=

1

2

（∠ACB+∠BAC）=

1

2

（180°-∠B）=60°
则∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
则∠CGF=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△GFC与△DFC中，

∠CFD=∠CFG CF=CF ∠GCF=∠DCF

，
∴△GFC≌△DFC（ASA），
∴DC=GC，
∵AC=AG+GC，
∴AC=AE+CD．
故③正确；

④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；
故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．