Question

14．（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=8，CD=2，求AD的长；
（2）如图2，等边△ABC中，P为内部一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，若AD=1，CF=2，BE=3，求△ABC的边长；
（3）如图3，△ABC中，P为内部一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，G、H、I分别为PD、PE、PF延长线上一点，若AG=CH，BH=AI，求证：BG=IC．

Answer 1

分析 （1）利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA，从而得$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，据此可得答案；
（2）设等边三角形的边长为x，则BD=x-1、CE=x-3、AF=x-2，根据勾股定理得BD²+PD²=PB²=BE²+PE²①，CE²+PE²=PC²=CF²+PF²②，AF²+PF²=PA²=AD²+PD²③，三式相加整理可得BD²+CE²+AF²=BE²+CF²+AD²，从而列出关于x的方程，解之可得；
（3）由（2）知BD²+CE²+AF²=BE²+CF²+AD²，两边都加上GD²+EH²+FI²可得BG²+CH²+AI²=BH²+CI²+AG²，根据AG=CH，BH=AI即可得证．

解答 解：（1）∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
而∠BAD=∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，即$\frac{AD}{2}=\frac{8}{AD}$，
∴AD=4；

（2）如图，连接PA、PB、PC，

设等边三角形的边长为x，
则BD=x-1、CE=x-3、AF=x-2，
根据勾股定理得：
BD²+PD²=PB²=BE²+PE²①，
CE²+PE²=PC²=CF²+PF²②，
AF²+PF²=PA²=AD²+PD²③，
①+②+③得：BD²+PD²+CE²+PE²+AF²+PF²=BE²+PE²+CF²+PF²+AD²+PD²，
整理，得：BD²+CE²+AF²=BE²+CF²+AD²，
即（x-1）²+（x-3）²+（x-2）²=3²+2²+1²，
解得：x=0（舍）或x=4，
∴△ABC的边长为4；

（3）由（1）知，BD²+CE²+AF²=BE²+CF²+AD²，
则BD²+GD²+CE²+EH²+AF²+FI²=BE²+EH²+CF²+FI²+AD²+GD²，
即BG²+CH²+AI²=BH²+CI²+AG²，
∵AG=CH，BH=AI，
∴BG²=CI²，
∴BG=CI．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．