Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

考点：正方形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形，首先证明为矩形，再证明AC⊥EF根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论．

解答：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形．
证明：由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，
∴∠2=45°，
∵平行四边形AECF是矩形，
∴EO=CO，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠MOC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

点评：此题主要考查了矩形和正方形的判定，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．