Question

已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？
（3）若⊙P的半径为

8

5

，⊙Q的半径为

3

2

；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标．

Answer 1

分析：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，由已知条件利用勾股定理求AC，利用面积法求CD，利用勾股定理求OD，确定C点坐标，从而求直线AC的解析式；
（2）根据P点是否在线段OA上分类：当0≤t≤2.5时，和当t＞2.5时，判断相似是否成立，利用相似比求符合条件的t的值；
（3）可判断⊙Q与直线AC、BC均相切．当⊙P的半径为

8

5

时，利用相似比求PA，得出OP的长和P点运动时间，Q点运动时间与P点相同，可判断QA的长是否等于⊙Q的半径，并求出Q点坐标．

解答：解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD=

4×3

5

=

12

5

，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=

OC2-CD2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），
又∵A（5，0），
∴直线AC解析式为：y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，
①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

2t-5

t

=

4

5

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合条件．
综上可知，当t=

25

6

或

20

3

时，△OAC与△APQ相似．

（3）⊙Q与直线AC、BC均相切．
如图，设⊙P与AC相切于点M，则PM∥OC，
∴

PM

OC

=

PA

OA

，即

8

5

×5=PA×4，
解得PA=2，OP=5-2=3，
P点运动时间为3÷2=

3

2

秒，
故Q点运动时间为

3

2

秒，此时AQ=

3

2

，
BQ=4-

3

2

=

5

2

，
过Q点作QN⊥BC，垂足为N，则△BQN∽△BCA，

QN

QB

=

AC

BC

，即

QN

5 2

=

3

5

，
解得QN=

3

2

，
则AQ=QN，
∵AC⊥AB，
∴⊙Q与直线AC、BC均相切．
此时，Q点坐标为（

31

5

，

9

10

）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用勾股定理，面积法，相似三角形的性质解题．