Question

3．已知抛物线y=a（x+3）（x-1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=-$\sqrt{3}$x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒$\frac{2\sqrt{3}}{3}$个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；
（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①△ABC∽△BAP；②△ABC∽△PAB；
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．

解答 解：（1）∵y=a（x+3）（x-1），
∴点A的坐标为（-3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y=-$\sqrt{3}$x+b经过点A，
∴b=-3$\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
当x=2时，y=-5$\sqrt{3}$，
则点D的坐标为（2，-5$\sqrt{3}$），
∵点D在抛物线上，
∴a（2+3）（2-1）=-5$\sqrt{3}$，
解得，a=-$\sqrt{3}$，
则抛物线的解析式为y=-$\sqrt{3}$（x+3）（x-1）=-$\sqrt{3}$x²-2$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；

（2）如图1中，作PH⊥x轴于H，设点 P坐标（m，n），

当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即$\frac{OC}{OA}$=$\frac{PH}{HB}$，
∴$\frac{-3a}{3}$=$\frac{-n}{-m+1}$，即n=-a（m-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=-a（m-1）}\\{n=a（m+3）（m-1）}\end{array}\right.$解得m=-4或1（舍弃），
当m=-4时，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{PB}$，
∴AB²=AC•PB，
∴4²=$\sqrt{9{a}^{2}+9}$$•\sqrt{25{a}^{2}+25}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$或$\frac{\sqrt{15}}{15}$（舍弃），
则n=5a=-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴点P坐标（-4，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）．
当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即$\frac{OC}{OB}$=$\frac{PH}{HB}$，
∴$\frac{-3a}{1}$=$\frac{-n}{-m+1}$，
∴n=-3a（m-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=-3a（m-1）}\\{n=a（m+3）（m-1）}\end{array}\right.$，
解得m=-6或1（舍弃），
当m=-6时，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{AB}{PB}$，即AB²=BC•PB，
∴4²=$\sqrt{1+9{a}^{2}}$•$\sqrt{{7}^{2}+（-21a）^{2}}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$或$\frac{\sqrt{7}}{7}$（不合题意舍弃），
则点P坐标（-6，-3$\sqrt{7}$），
综上所述，符合条件的点P的坐标（-4，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）和（-6，-3$\sqrt{7}$）．
（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{5\sqrt{3}}{5}$=$\sqrt{3}$，

∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE=$\frac{EF}{sin∠EDF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$EF，
∴Q的运动时间t=$\frac{BE}{1}$+$\frac{DE}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，此时点E坐标（1，-4$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．