Question

如图所示，⊙I是Rt△ABC（∠C=90°）的内切圆，⊙I和三边分别切于点D，E，F．
（1）求证：四边形IDCE是正方形；
（2）设BC=a，AC=b，AB=C，求内切圆I的半径．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质即可证明是一个矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明；
（2）根据切线长定理即可列方程求解．

解答：证明：（1）∵BC，AC与⊙I相切于D，E，
∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°，
∴四边形IDCE为矩形，
又∵IE=ID，
∴矩形IDCE是正方形．

（2）由（1）得CD=CE=r，
∴a+b=BD+AE+2r=BF+AF+2r=c+2r，
∴r=

1

2

（a+b-c）．

点评：掌握直角三角形内切圆半径的公式以及公式的推导过程．