Question

（本小题满分14分）
如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。设抛物线的顶点为D，求解下列问题：

小题1:（1）求抛物线的解析式和D点的坐标；
小题2:（2）过点D作DF∥轴，交直线BC于点F，求线段DF的长，并求△BCD的面积；
小题3:（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由。

Answer 1

小题1:解：（1）设抛物线的解析式为
把（0，3）代入，解得，
解析式为-----------------------2分
则点的坐标为（1，4）-----------------------2分
小题2:（2）设直线BC的解析式为，把B（3，0）代入，
解得，所以
∴DF=   -----------------------2分
△BCD的面积=  --------------2分
小题3:（3）①点即在抛物线上，CD=，BC=，。
∵，，∴ ∴，
这时与点重合点坐标为----------------------------------2分
②如图（4），若为，作QF⊥轴于，
轴于
可证
有
则点坐标
即
化简为
即
解之为或
由得坐标：----------2分
③若为
如图（5），延长交轴于，
作轴于，
轴于
可证明
即
则
得，
解法（1）过Q作QG∥轴交DE于点G，∴，，
∴， ，解得（舍去），
代入解得，为
解法（2）点的坐标为
所在的直线方程为
则与的解为，得交点坐标为···················· 2分
即满足题意的点有三个，，

略