Question

18．如图，AB=CD，AD=BC，O为BD的中点，过O的直线与DA、BC的延长线交于E、F，交AB、CD于N、M，求证：MF=NE．

Answer 1

分析 可先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明△BON≌△DOM，可得到AN=MC，进一步证明△ANE≌△CMF即可．

解答 证明：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBN=∠ODM，∠ONB=∠OMD，
∵O为BD中点，
∴OB=OD，
在△BON和△DOM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBN=∠ODM}\\{∠ONB=∠OMD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$
∴△BON≌△DOM（AAS），
∴BN=DM，
∴AN=CM，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠ANE=∠FNB=∠FMC，
在△ANE和△CMF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠ANE=∠FMC}\\{AN=CM}\end{array}\right.$
∴△ANE≌△CMF（AAS），
∴MF=NE．

点评 本题主要考查平行四边形和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．