Question

（2013•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx-3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．
（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范围；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

分析：（1）将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值；
（2）根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t的范围即可；
（3）证明△QCD∽△CPD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值．

解答：解：（1）将点A、点B的坐标代入可得：

a+b-3=0 9a-3b-3=0

，
解得：

a=1 b=2

；

（2）抛物线的解析式为y=x²+2x-3，直线y=t，
联立两解析式可得：x²+2x-3=t，即x²+2x-（3+t）=0，
∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，
∴△=4+4（3+t）＞0，
解得：t＞-4；

（3）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
当x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．
设点Q的坐标为（m，t），则P（-2-m，t）．
如图，设PQ与y轴交于点D，则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2．

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，
∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°，
∴△QCD∽△CPD，
∴

DQ

DC

=

DC

PD

，即

m

t+3

=

t+3

m+2

，
整理得：t²+6t+9=m²+2m，
∵Q（m，t）在抛物线上，∴t=m²+2m-3，∴m²+2m=t+3，
∴t²+6t+9=t+3，化简得：t²+5t+6=0
解得t=-2或t=-3，
当t=-3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去．
∴t=-2．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解一元二次方程等知识点．第（3）问中，注意抛物线上点的坐标特征．