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如图,在正方形ABCD中,AB=12,∠ECF=45°,点F在AB上,EF、CB的延长线交于点G,
                     
若EF=10,请问:
(1)EF、BF、ED之间满足的数量关系为___________________;
(2)S△AEF+S△BGF=_____________________.
(1)EF=ED+BF;(2)48或30

试题分析:(1)把△BCF绕点C顺时针旋转90°到△DCH,根据正方形的性质结合∠ECF=45°可得△ECF≌△ECH,从而得到结果;
(2)设BF=DH=x,则ED=10-x,AF=12-x,则AE=12-(10-x)=2+x,在Rt△AEF中根据勾股定理列方程即可求得x的值,再证得△AEF∽△BGF,根据相似三角形的性质求得BG的长,再根据直角三角形的面积公式即可求得结果.
(1)把△BCF绕点C顺时针旋转90°到△DCH,

则CF=CG,∠BCF=∠DCH,BF=DH
∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°
∵∠ECF=45°
∴∠BCF+∠ECD=45°
∴∠DCH+∠ECD=45°,即∠ECH=45°
在△ECF与△ECH中
CF=CG,∠ECF=∠ECH,CE=CE
∴△ECF≌△ECH
∴EF=EH=ED+DH=ED+BF;
(2)设BF=DH=x,则ED=10-x,AF=12-x,则AE=12-(10-x)=2+x,
在Rt△AEF中
解得
∵正方形ABCD
∴AD∥BC
∴△AEF∽△BGF

当BF=DH=4时,AE=6,AF=8,解得BG=3
当BF=DH=6时,AE=8,AF=6,解得BG=8


点评:解答本题的关键是熟练掌握旋转对应边的夹角是旋转角,旋转前后图形的对应边、对应角相等.
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(2)如图2,若连接EF,试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系,直接写出你的结论
(不需证明);
(3)如图3,若将“AB=AC,点D是BC的中点”改为:“∠B=30°,AD⊥BC于点D”,其余条件不变,探索(1)中结论是否成立?若不成立,请探索关于AF、BE的比值.

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