Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

如图，是相似．                       
【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．

在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵　E是AD的中点，
∴　AE＝ED．
∵　∠AEF＝∠DEG，
∴　△AFE≌△DGE．                         
∴　∠AFE＝∠DGE．
∴　E为FG的中点．
又　CE⊥FG，
∴　FC＝GC．
∴　∠CFE＝∠G．
∴　∠AFE＝∠EFC．
又　△AEF与△EFC均为直角三角形，
∴　△AEF∽△EFC．                         
① 存在．                                    
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．
证明：当＝时，＝，
∴　∠ECG＝30°．
∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．
又　△AEF和△BCF均为直角三角形，
∴　△AEF∽△BCF．           
② 因为EF不平行于BC，
∴　∠BCF≠∠AFE．
∴　不存在第二种相似情况．          

（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件；
（2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：
当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的；
当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值