Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE交于点F．

（1）求证：CF为⊙O的切线；

（2）填空：

①若AB＝4，当OB＝BF时，BE＝______；

②当∠CAB的度数为______时，四边形ACFD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①1；②30°．

【解析】

（1）连结OC，如图，由于∠OAC＝∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC＝2∠OAC，而∠ABD＝2∠BAC，所以∠ABD＝∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；

（2）①由平行线分线段成比例可得，即可求BE的长；

②根据三角形的内角和得到∠F＝30°，根据等腰三角形的性质得到AC＝CF，连接AD，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠F＝30°，根据全等三角形的性质得到AD＝AC，由菱形的判定定理即可得到结论．

证明：（1）连结OC，如图，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠OAC，

∵∠ABD＝2∠BAC，

∴∠ABD＝∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF为⊙O的切线；

（2）①∵AB＝4，

∴OB＝BF＝OC＝2，

∴OF＝4，

∵BE∥OC，

∴，

∴BE＝1，

故答案为：1；

②当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，

理由：∵∠CAB＝30°，

∴∠COF＝60°，

∴∠F＝30°，

∴∠CAB＝∠F，

∴AC＝CF，

连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BD，

∴AD∥CF，

∴∠DAF＝∠F＝30°，

在△ACB与△ADB中，

，

∴△ACB≌△ADB（AAS），

∴AD＝AC，

∴AD＝CF，

∵AD∥CF，

∴四边形ACFD是菱形．

故答案为：30°．