Question

（2012•兰州）如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF=∠BDC，∠EBD=∠CBD，则可求得折叠后的图形．
（2）由折叠的性质，易得∠FDB=∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB=∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．

解答：解：（1）做法参考：
方法1：作∠BDG=∠BDC，在射线DG上截取DE=DC，连接BE；
方法2：作∠DBH=∠DBC，在射线BH上截取BE=BC，连接DE；
方法3：作∠BDG=∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E
方法4：作∠DBH=∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE…2分
（做法合理均可得分）
∴△DEB为所求做的图形…3分．   

（2）等腰三角形．…4分
证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴∠FDB=∠CDB，…5分
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，…6分
∴∠FDB=∠ABD，…7分
∴△BDF是等腰三角形．…8分

点评：此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定，折叠的性质以及尺规作图．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．