Question

【题目】已知四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180，连接AC，BD.

(1)如图1,当∠ACD=∠CAD=45时，求∠CBD的度数；

(2)如图2,当∠ACD=∠CAD=60时，求证：AB+BC=BD；

(3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CK⊥BD于点K,在AB的延长线上取点F,使∠FCG=60,过点F作FH⊥BD于点H,BD=8,AB=5,GK=，求BH的长。

Answer 1

【答案】(1)45°

（2）见解析

（3）

【解析】

（1）根据已知条件得到A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；

（2）在BD截取BE=AB，连接CE，根据圆周角定理得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△ABE是等边三角形，△ACD是等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）根据圆周角定理得到∠CBD=∠ABC=∠CAD=60°，解直角三角形得到BK=,,CK=,DK=,由勾股定理得到CD=7,求得AC=CD=7，根据相似三角形的性质得到AF=,BF=,解直角三角形即可得到结论．

(1) ∵∠ABC+∠ADC=180，

∴A，B，C，D四点共圆，

∵∠ACD=∠CAD=45，

∴∠CBD=∠CAD=45；

(2) 在BD截取BE=AB，连接CE，

∵∠ABC+∠ADC=180，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠ABD=∠ACD=60，

∴△ABE是等边三角形，

∴AB=BE=AE，

∵∠ACD=∠CAD=60，

∴△ACD是等边三角形，

∴AC=AD,∠CAD=∠BAE=60，

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC与△ADE中,

∴△ABC≌△AED，

∴BC=DE，

∵BD=BE+DE，

∴BD=BC+AB；

(3)∵BD=8，AB=5，

∴BC=3，

∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠CBD=∠ABC=∠CAD=60，

∵CK⊥BD，

∴BK=BC=,CK=,

∴DK=，

∴CD==7

∴AC=CD=7，

∵∠FCG=60，

∴∠FCG=∠CBD，

∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠BAC=∠CDB，

∴△AFC∽△DCB，

∴，

∴AF=，

∴BF=，

∵∠FBH=∠ABD=60，

∵FH⊥BD，

∴BH=BF=.