Question

设N=24×25×26×27+1，则N是________的平方．

Answer 1

±649
分析：观察N=24×25×26×27+1发现N的平方的绝对值必介于25²与26²之间，必定是由N变化来的，故初步考虑将N都用24来表示，那么N=（24×27）×（25×26）+1=[（24×（24+3）]×[（24+1）×（24+2）]+1=（24²+3×24）×（24²×3×24+2）+1
再进一步观察发现均含有24²+3×24，不妨令a=24²+3×24，则N=N=a×（a+2）+1=a²+2a+1，至此N能用（a+1）²表示，问题也得以解决．
解答：N=24×25×26×27+1=（24×27）×（25×26）+1=[（24×（24+3）]×[（24+1）×（24+2）]+1=（24²+3×24）×（24²+3×24+2）+1
令a=24²+3×24，则N=a×（a+2）+1=a²+2a+1=（a+1）²
所以N=（24²+3×24+1）²即N的平方根是±649
故答案为±649．
点评：本题考查利用完全平方公式进行因式分解．同学们不妨试一下N=26×27×28×29+1，进一步拓展为四个相邻的自然数．