Question

如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．

Answer 1

分析：（1）连接BD，证明△DMB≌△DNC．根据已知，全等条件已具备两个，再证出∠MDB=∠NDC，用ASA证明全等，四边形DMBN的面积不发生变化，因为它的面积始终等于△ABC面积的一半；
（2）成立．同样利用（1）中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC；
（3）结论仍然成立，方法同（1）．

解答：解：（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠NDC，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN；
②四边形DMBN的面积不发生变化；
由①知△BMD≌△CND，
∴S_△BMD=S_△CND，
∴S_{四边形DMBN}=S_△DBN+S_△DMB=S_△DBN+S_△DNC=S_△DBC=

1

2

S_△ABC=

1

2

×(

2

2

)2=

1

4

；

（2）DM=DN仍然成立；
证明：如图2，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
则在△BMD和△CND中，

∠BDM=∠CDN  DB=DC ∠DBM=∠DCN

，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．

（3）DM=DN．

点评：本题利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理，勾股定理和面积公式的利用等知识．