Question

12．如图，已知直线y=-x与二次函数y=-x²+bx+c的图象交于点A、O，O是坐标原点，OA=3$\sqrt{2}$，点P为二次函数图象的顶点，点B是AP的中点．
（1）求点A的坐标和二次函数的解析式；
（2）求线段OB的长；
（3）射线OB上是否存在点M，使得△AOM与△AOP相似？若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件首先求出点A的坐标，再把O和A点的坐标代入二次函数y=-x²+bx+c得解析式，求出b和c的值；
（2）易证∠AOP=90°，又因为△A0P中，点B为AP的中点，OB=$\frac{1}{2}$AP=$\sqrt{5}$，问题得解；
（3）射线OB上存在点M，使得△AOM与△AOP相似，连接OB并延长，过点A作AM₁⊥OB，垂足为M₁，易证△AOP∽△OM₁A，由相似三角形的性质可求出OM₁的长，结合OB的长即可求出M1的坐标；又过点A作AM₂⊥OA，交OB延长线于M₂，同理可求出M₂的坐标．

解答 解：（1）∵点A在直线y=-x上，且$OA=3\sqrt{2}$，
∴点A坐标（3，-3），
∵点O（0，0），点A（3，-3）在y=-x²+bx+c的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{-9+3b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=0，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x；
（2）由（1）得二次函数图象的顶点P（1，1），
所以$AP=2\sqrt{5}$，
∵点A在y=-x的图象上，可得点P在y=x的图象上，
∴∠AOP=90°，
又∵△A0P中，点B为AP的中点
∴OB=$\frac{1}{2}$AP=$\sqrt{5}$；
（3）存在．理由如下：
如图，连接OB并延长，过点A作AM₁⊥OB，垂足为M₁
∵∠POA=∠AM₁O=90°，∠PAO=∠AOM₁
∴△AOP∽△OM₁A，
则有：$\frac{{O{M_1}}}{AO}=\frac{AO}{PA}$，可得，$O{M_1}=\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$，
由$OB=\sqrt{5}$得点B（2，-1）
∴M1的坐标为（$\frac{18}{5}$，-$\frac{9}{5}$）；
又过点A作AM₂⊥OA，交OB延长线于M₂
∵∠POA=∠M₂AO=90°，∠PAO=∠M₂OA，
∴△AOP∽△OAM₂
则有$\frac{{O{M_2}}}{PA}=\frac{AO}{AO}$，可得，$O{M_2}=2\sqrt{5}$，
由$OB=\sqrt{5}$得点B（2，-1）
∴M2的坐标为（4，-2），
综上可知：点M坐标为$（\frac{18}{5}，-\frac{9}{5}）$或（4，-2）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，难度不大．第（2）问有多种解法，同学们可以从不同角度尝试与探究．