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(2004•十堰)在平面直角坐标系xoy中,以O为原心,12为半径作圆交x轴于E,F两点,交y轴千C,D两点,G为劣弧上一点.且
(1)求G点的坐标;
(2)求过G、E、F三点的抛物线的解析式;
(3)点A为x轴正半轴上一点,且在圆O的外部,过A作圆O的一条切线AB,切点为B,交y轴正半轴于点H,若以点A、O、H为顶点的三角形与三角形EGF相似,求AF的长.

【答案】分析:(1)本题可通过构建直角三角形来求G点的坐标,过G作GG′⊥x轴于G′,那么根据,可知∠GOE=60°,在直接三角形GOG′中,可根据半径的长和∠GOE的度数求出G点的坐标;
(2)已知了圆的半径,易知E,F的坐标为(-12,0),(12,0).因此可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)连接OB,已知了∠GEF=60°,那么本题可分两种情况进行讨论:
①∠HAO=60°,那么在直角三角形OBA中,根据半径的长和∠BAO的度数即可求出OA的长,也就能求出AF的长.
②∠HAO=30°,方法同①.
解答:解:(1)过点G作GG'⊥x轴,垂足为G',
有:∠GOE=60,GG'=6,OG'=6,
∴G(-6,6);

(2)设过G、E、F三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
由己知有:E(-12,0),F(12,0),
将G、E、F三点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0)
有:
解之得:
∴过G、E、F三点的抛物线的解析式为y=-x2+8

(3)连接OB,则OB⊥AH,由己知有∠GFE=30°,∠GEF=60°
要使以点A、O、H为顶点的三角形与三角形EGF相似,
必须满足∠HAO=30°,或∠HAO=60°
(i)若∠HAO=30°,则OA=2,OB=24,
∴AF=24-12=12.
(ii)若∠HAO=60°,则OB=OAsin60°=12,OA=8
∴AF=8-12.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等重要知识点,要注意的是(3)中,在不确定相似三角形哪些角是对应角的情况下要分类讨论,不要漏解.
练习册系列答案
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(1)求直线AB的解析式:
(2)过点C作AB的垂线,垂足为D,设OC=x,CD=d,写出d与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)当OQ=3时,以OQ为直径作圆C,试判断直线AB与圆C的位置关系;
(4)当PQ与x轴垂直时△OPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段OQ的长的取值范围:若不可能,请说明理由.

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(3)当OQ=3时,以OQ为直径作圆C,试判断直线AB与圆C的位置关系;
(4)当PQ与x轴垂直时△OPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段OQ的长的取值范围:若不可能,请说明理由.

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A.
B.
C.
D.

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