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(2008•乌鲁木齐)如图,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A,B两点,开口向下的抛物线经过点A,B,且其顶点P在⊙C上.
(1)求∠ACB的大小;
(2)写出A,B两点的坐标;
(3)试确定此抛物线的解析式;
(4)在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)可通过构建直角三角形来求解.过C作CH⊥AB于H,在直角三角形ACH中,根据半径及C点的坐标即可用三角形函数求出∠ACB的值.
(2)根据垂径定理可得出AH=BH,然后在直角三角形ACH中可求出AH的长,再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标.
(3)根据抛物线和圆的对称性,即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上,因此可得出P点的坐标为(1,3).然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式.根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式.
(4)如果OP、CD互相平分,那么四边形OCPD是平行四边形.因此PC平行且相等于OD,那么D点在y轴上,且坐标为(0,2).然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点.
解答:解:(1)作CH⊥x轴,H为垂足,
∵CH=1,半径CB=2,
∵∠BCH=60°,
∴∠ACB=120°.

(2)∵CH=1,半径CB=2
∴HB=
故A(1-,0),B(1+,0).

(3)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3)
设抛物线解析式y=a(x-1)2+3,
把点B(1+,0)代入上式,解得a=-1;
∴y=-x2+2x+2.

(4)假设存在点D使线段OP与CD互相平分,则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD.
∵PC∥y轴,
∴点D在y轴上.
又∵PC=2,
∴OD=2,即D(0,2).
又D(0,2)满足y=-x2+2x+2,
∴点D在抛物线上
所以存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.
点评:本题是综合性较强的题型,所给的信息比较多,解决问题所需的知识点也较多,解题时必须抓住问题的关键点.二次函数和圆的综合,要求对圆和二次函数的性质在掌握的基础上灵活讨论运动变化,对解题技巧和解题能力的要求上升到一个更高的台阶.要求学生解题具有条理,挖出题中所隐含的条件,会分析问题,找出解决问题的突破口.
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